Đặt vấn đề. Bài toán tô màu bản đồ trong tô-pô (thường gọi là Định lý Bốn Màu) là một trong những bài toán nổi tiếng nhất của toán học, liên quan mật thiết đến tô-pô và lý thuyết đồ thị. Dưới đây là giải thích chi tiết:
I. Bản chất bài toán:
- Mục tiêu: Tìm số màu tối thiểu để tô một bản đồ sao cho hai vùng liền kề (có chung đường biên dài, không chỉ điểm) luôn khác màu.
- Yêu cầu tô-pô: Bài toán không phụ thuộc vào hình dạng hay kích thước vùng, chỉ quan tâm đến quan hệ liền kề. Đây chính là đặc trưng của tô-pô (bảo toàn qua phép biến hình liên tục).
| 1. Định lý Bốn Màu (1976): Mọi bản đồ phẳng (hoặc mọi đồ thị phẳng) đều có thể tô bằng tối đa 4 màu mà không có hai vùng kề nhau cùng màu. |
Ví dụ:
Bản đồ Việt Nam: Các tỉnh giáp nhau cần tô khác màu.
Bản đồ Thế giới: Các quốc gia láng giềng khác màu.
2. Tại sao là bài toán tô-pô?
Tính chất bất biến: Kết quả (số màu tối thiểu) không thay đổi nếu bản đồ bị kéo giãn, uốn cong (phép đồng phôi trong tô-pô).
Quy về đồ thị phẳng: Mỗi bản đồ được biểu diễn thành đồ thị (graph):
Đỉnh: Đại diện cho vùng.
Cạnh: Nối hai đỉnh nếu hai vùng liền kề.
Định lý khẳng định: Đồ thị phẳng luôn có sắc số ≤ 4.
3. Lịch sử và giải pháp
1852: Francis Guthrie đưa ra bài toán.
1890: Percy Heawood chứng minh định lý Năm Màu (đủ cho mọi bản đồ).
1976: Kenneth Appel và Wolfgang Haken chứng minh thành công Định lý Bốn Màu bằng cách:
Sử dụng máy tính để kiểm tra 1.476 cấu hình cơ bản.
Gây tranh cãi vì là chứng minh đầu tiên dựa vào máy tính.
4. Ngoại lệ và lưu ý
Vùng tách rời (như Alaska của Mỹ): Xem như vùng độc lập, không cần cùng màu với "chính quốc".
Bản đồ không phẳng: Cần nhiều màu hơn (ví dụ: Bản đồ trên hình xuyến cần 7 màu).
6. Ý nghĩa toán học
Mở ra hướng nghiên cứu lý thuyết đồ thị và tô-pô tổ hợp.
Minh chứng cho sự kết hợp giữa toán học trừu tượng và công nghệ máy tính.
II. Bản đồ Việt Nam 34 tỉnh thành
Ở đây chúng tôi dùng $\rm \LaTeX$ để liệt kê 34 tỉnh/thành. Do vấn đề chủ quyền, chúng tôi liệt kê thêm 2 đặc khu trực thuộc Tỉnh/Thành phố.
Đặc khu Hoàng Sa trực thuộc Thành phố Đà Nẵng.
Đặc khu Trường Sa trực thuộc Tỉnh Khánh Hòa.
Các hòn đảo còn lại trực thuộc tỉnh sẽ có màu cùng màu với tỉnh chứa các đảo đó, ví dụ Đảo Phú Quốc cùng màu với tỉnh An Giang, Đảo Hòn Khoai cùng màu với tỉnh Cà Mau v.v…
III. Dùng $\rm \LaTeX$ viết thêm tên tỉnh vào Bản đồ Việt Nam
Bước 1: Xác định hệ trục tọa độ và kẻ carô bản đồ để quan sát tọa độ của 1 điểm trên bản đồ.
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[utf8]{vietnam}
\usepackage{utopia}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{multido}
\usepackage{wallpaper}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usepackage[
paperwidth=21.5cm,
paperheight=42cm,
left=0cm,
top=-1cm,
bottom=0cm,
nohead,
nofoot
]{geometry}
\pagestyle{empty}
\newcommand{\puttext}[3]{%
\begin{tikzpicture}[remember picture, overlay]
\node[anchor=north west, inner sep=0] at
($(current page.north west) + (#1 * 1px, -#2 * 1px)$) {#3};
\end{tikzpicture}%
}
\begin{document}
\multido{\i=50+50}{11}{\puttext{\i}{5}{\i}}
\multido{\i=50+50}{15}{\puttext{\i}{0}
{\color{blue}\rule{0.1pt}{\textheight}{0.1pt}}}
\multido{\i=50+50}{32}{\puttext{0}{\i}
{\i \color{blue}\rule{1.2\textwidth}{0.1pt}}}
\ULCornerWallPaper{1}{VN_map2025}
\end{document}
|
